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Σ 数列
数列は簡単に言えば「数の規則性」です。
例えば「奇数」「偶数」の規則性を考えてみましょう。
奇数ならば
[ 1, 3, 5, 7, 9,,,]ですが、規則的に表すと[1×2-1=1, 2×2-1=3, 3×2-1=5, 4×2-1=7, 5×2-1=9,,,]となります。
これを文字で表すと [ 奇数 = 2n - 1 ] となります。
反対に偶数ならば[ 2, 4, 6, 8, 10,,,]ですが、規則的に表すと[1×2=1, 2×2=4, 3×2=6, 4×2=8, 5×2=10,,,]となります。
これを文字で表すと [ 偶数 = 2n ] となります。
3の倍数なら 3n という「数の列を文字を使って規則的に表そう」が数列です。
数列でまずは等差数列が一丁目です。同じ数が加算されていきます
a1 = a
a2 = a + d
a3 = a + d + d = a + 2d
,,,,
an = a + d + ,,, + d = a + ( n - 1 ) d
[ n - 1 ] 回の公差dが加算されているのがポイントです。
等差数列をあまり複雑に考え ずに
「初項a に項ごとに交差dが加算されていく」
だから
「n項目には aに(n-1)このdが加算」
されています。
等差数列の和を考える前に[ 1 〜 n ]までの和を考えてみましょう。
いきなり[ n ] よりも、まずは[ 1 〜 5 ]までを理解し、その上で[ n ]に置き換えるほうがわかりやすいです。
それでは第n項までの等差数列の和を考えます。わかりやすく奇数の和を例にします。
↑の例を一般化すると、等差数列の和は[ 1 ~ n ]をひっくり返して加算すると「初項とn項の和がnこできる」からそれを半分にすれば良い、に集約されます。
前の項、次の項と [ + ] [ - ]を使って表すことができるのが「等差数列」です。
（この後説明する等比数列を理解するためにも等差数列のしくみをわかっていることが大事です）
等差数列の一例に[ 1, 2, 3, 4,,,,10, 11, 12,,, n ]がありますが考え方は一緒です。
等差数列の次に「等比数列」です。「公比 r」をかけていくのがポイントです。
[ n - 1 ] 回の公比 rがかけ算されているのがポイントです。
等比数列の和は「1項分ずらす」がポイントです。↓のようなしくみで導出できます。
公式を覚える際にしくみを理解しておくと使いこなす上でプラスです。
この「1項分ずらす」は数列でよ〜く使います。
もう一つのポイントは項数が5でも100でもnでも1項分ずらして差をとると「最初と最後の項だけが残る」というnの値に関係ないです。
この「1項分ずらす」を分数に用いて相殺させて残りが答えになる問題もあります。
「二乗の和」の公式は丸暗記するのは悪くないのですが、一度↓のように導出できることを見ると理解が深まります。
長〜いので分からなくても大丈夫ではありますが、ご参考になれば幸いです。
「3乗の和」も同じようアプローチで導出することが可能ですが、省略しますww。
項だけではなく「差も数列」となっているのが階差数列です。
「Σ」がでてくるので等差数列、等比数列の和を理解していることが前提になります。
等差数列、等比数列の和から数列を求めることもあります。
[ n項までの和 − ( n-1 )項までの和 ]でn項を求めることができます。
漸化式も慣れておきましょう。
等差数列、等比数列をはじめ数列を数式で表すのが漸化式です。
[ n項 ] と[ ( n + 1 )項 ]の関係と[ 初項 a ]がわかれば数列を式で表せます。
漸化式を解答する際のアプローチ、考え方としてまず身につけると良いのが「変形すると”等差数列”, "等比数列”, もしくは”階差数列”」になることを見つけることです。
↑を武道における基本形のようなイメージです。
数列の証明に活用できるのが「数学的帰納法」です。
↓のようなn(自然数)について2段階の証明になります。
(1) n = 1 で成立するか
(2) n = 2以上について [ n = k ]で成立すると仮定して、 [ n = k + 1 ]で成立するか
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