いろいろな数字がありますが、まずは「偶数」と「奇数」から学びましょう。
偶数とは
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2でわり切れる(÷2で余り0)
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1の位が[0, 2, 4, 6, 8]のどれか
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2の倍数(倍数が意味は↓で説明します）
奇数
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2で割り切れない(÷2で余り1)
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1の位が[1, 3, 5, 7, 9]のどれか
です。
次に「倍数」を学びましょう。
倍数とは「ある整数を整数倍した数」です。
2の倍数は[ 2, 4, 6,,, ]と偶数が倍数になります。
3の倍数は[ 3, 6,,9 ,, ]と倍数になります。
10の倍数は[ 10, 20, 30,,,] です。
「2の倍数は2でわり切れる(=余り0)」、「3の倍数は3でわると余り0(わり切れる）」と言えます。
6は「2の倍数」であり、また「3の倍数」でもあります。15は「3×5ですので、3の倍数であり、5の倍数でもある」と言えます。
さらに「約数」を学びましょう。
約数とは「ある整数を割り切れる整数」です。平たく言うと「ある数をかけ算で表そうとした時に表すのに使える数」です（ごめんなさい、←の説明はまだわかりにくいです）。
12の約数は[ 1, 2, 3, 4, 6, 12]になります。
約数には[ 1 とその数そのもの ]を含みますので、10の約数 は[1, 2, 5, 10]です。
約数は中学の数学で学ぶ「因数分解」と関係があります。
↓
約数があるかないかは「素数」という数の定義に関係しています。
「約数」の次は「素数」を学びましょう。
素数は「(2以上の整数で)1とその数自体だけで割り切れる整数」です。例えば、2と13を考えると「2は1と2以外はわり切れる数がない」、「13は1と13だけでわり切れる」ので2と13は素数です。
2は一番小さな素数です。
2以外の偶数は素数ではありません。
素数でない一番小さな数4で、4の約数は1と4以外に2があります。
「約数」と関係しているというのは
素数：約数が"1"と”その数”の2つだけ
素数ではない：”約数が"1"と”その数”以外にある＝約数が3つ以上ある
というのが定義となります。
今までは1つの数字について考えてきましたが、2つの数字を共通する数字を学んでみましょう。
それらを「公倍数」と「公約数」と呼ばれるものがあります。
公倍数は「2つの数字の倍数」です。言い換えると「どっちの倍数でもある」ということです。
例えば「2の倍数でもあり、3の倍数でもある数」は[6, 12, 18,,,]ですね。「6の倍数ならば、2の倍数でもあり、3の倍数でもある」ので6の倍数は「2と3の公倍数」です。
3と10の公倍数だと、最小の公倍数が30、次は60となります。
公倍数はたくさんありますが、最も小さい公倍数を「最小公倍数」と呼びます。
最小公倍数は図形的に書くこともできます。
2つの数字に関して、最小公倍数は「正方形を描ける倍数」ということです。
立方体にすれば3つの数字に関して、最小公倍数を求めることができます。
倍数や整数の問題では「条件に合う整数の個数」を求める問題があります。
そのような数える問題や「条件の整理」を図でイメージできると良いです。
「必要条件」と「十分条件」が特に大切です。
数字以外の「必要条件 と 十分条件」を学んでしまいましょう。ググるとたくさん例が出てきます。↓の”サッカー”と”球技”の関係です。
サッカーは球技の十分条件
球技はサッカーの必要条件
十分条件は「言い切れる」と断定的な時に、必要条件は「最低限」などそうであることが求められる時に使います。
「約数」が「2つの数の約数」の時に「公約数」と呼びます。
言い換えると「どっちの約数でもある」ということです。
4は「12の約数, 20の約数でもあります」ので、”4は”12と20の公約数”です。
24と36の公約数を考えると[ 2, 4, 6, 12]がありますが、”一番大きい公約数24を「24と36の
最大公約数」と呼びます。
最大公約数は図形的に書くこともできます。
2つ数字の公約数は「長方形に対する正方形の一辺」
[ x と y ]はそれぞれaで割り切れる、ということです。
3つ数字の公約数は「直方体に対する立方体の一辺a」
直方体xyzを[ 立方体 a ]で埋め尽くして「余りがでない」ということです。
最大公約数を求めるのに「ユークリッドの互除法」があります。わり算と余り、正方形をあてはめていって、割り切れたら「最大公約数」になります。
言い換えると「余りがでる」＝割り切れない＝約数ではない です。
いろいろな数字がありますが、実数には0より大きい[1, 2, 3, ,,,10,,,100]だけでなく"0より小さい数”もあります。
0より大きい: 正の数と呼び x > 0
0より小さい: 負の数を呼び x < 0
となります。
[1, 2, 3, ,,,10,,,100,,,]を正の整数
[-1, -2, -3, ,,,-10,,,-100,,,]を負の整数
カレンダーも正負を学べる教材です。
「今日を0」と仮定すると
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明日は+1
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明後日は+2
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１週間後は+7
と解釈することができます。
反対に
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昨日は-1
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一昨日は-2
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１週間後は-7
になります。
「負の数」と「絶対値」はややこしいですが、簡単に言えば「0からどれだけ離れているか」を表すのが絶対値です。
| − 1 | = 1
のように負の数[ − ] が外れます。
正の数の場合はそのまま、負の数は「マイナスが外れる」のが絶対値です。
文字の絶対値の場合 [ | x |, | x + 1 | ] では「マイナスが外れる」xの値が違うので注意です(絶対値記号で囲われている範囲)。
「負の数を偶数回かけると正の数」です。
1 × ( − 1 ) = − 1
( − 1 ) × ( − 1 ) = 1
( − 1 ) × ( − 1 ) × ( − 1 ) = − 1
( − 1 ) × ( − 1 ) × ( − 1 ) × ( − 1 ) = 1
と正負が交互にあらわれます。
「負の数を偶数回かけると正の数」
「負の数を奇数回かけると負の数」
負の整数を学習した次に「自然数」があります。
自然数：正の整数 [ 1, 2, 3, 4,...10, 11,... ]
自然数であり、偶数の場合 [ 2, 4, 6, 8, 10, ... ]
です。問題文に「aは自然数、、、」のように使われることがあります。
また、ついでに「必要条件 と 十分条件」を学んでしまいましょう。ググるとたくさん例が出てきます。↓の”サッカー”と”球技”の関係です。
サッカーは球技の十分条件
球技はサッカーの必要条件
十分条件は「言い切れる」と断定的な時に、必要条件は「最低限」などそうであることが求められる時に使います。