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文字の扱いに慣れることが数学を学ぶ上で大切です。
算数は基本的に数字のみでしたが、数学はaやb, xやyをとてもよく使います。
3a + 2a = 5a のような使い方をします。
文字同士の+−×÷のルールをそれぞれ確認します。
文字を使うと「等式」がでてきます。 等式とは左右で同じ値を表します。
「等式」は+−×÷同じことを左右にしても成り立ちます。
方程式では文字式の変形が大切です。↓のような例です。
等式の次は「方程式」です。簡単に言えば「文字の値を求める」です。
方程式[ x - 1 = 0 ]を解くと x = 1 となりますが、これを図で表すことができます。
y = x - 1 のグラフを xy平面に書いて[ x - 1 = 0 ]とは[ y = 0 ]、つまり「x軸との交点」を求めれば方程式の解です。
この先学習する「方程式」や「関数」において文字やグラフの扱いに慣れておくと理解のプラスです。
次に方程式でも２文字[ x と y ]を解いてみましょう。
x + y = 6
x - y = 2
の時、x と y はそれぞれいくつでしょうか？
等式ならば+−×÷同じことを左右にしても同じであることを利用します↓。
次数が2にあがった2次方程式を解いてみましょう。その際、平方根をよく使います。
2次方程式の公式を式変形で解いてみましょう。 （±）がでてくる理由もわかります。
2次方程式の公式において解の個数を判別する式を２次関数のグラフから見ることができます。
2次方程式を因数分解で解いても、公式にあてはめても同じ値になります。
2次方程式を一般形と因数分解形を比較すると↓のような関係があります。
2次方程式を関数の交点を求めるのに活用します。交点では[ y座標が等しい ]ので連立方程式のyに代入して解いていきます。
２次方程式の解を[ グラフ ]を用いて表してみましょう。
( x − α )( x − β )= 0
の[ α, β ]について符号、絶対値など性質を整理します。
２次方程式の解を[ グラフ ]を用いて表すもう一つの例
( x − α )( x − β )= K
の[ α, β ]について、またKの値により方程式がどのような式になるのか整理します。
3次以上の方程式を解く上で因数分解が重要になります。
また、因数分解した結果、解が存在するのが一部の項のみとなる場合も少なくありません。
高校生で数学IIを習うようになると方程式はいろいろな関数と組み合わせて問題になります。
↓は1次方程式ですが、2次方程式の問題もあります。
数学IIの指数関数も方程式になります。
数学IIIの複素数も方程式になります。理系数学では「複素数」、つまり「虚数」まで考えるようになります。
[ 方程式の解の個数 = x軸との交点数 ]になります。
3次関数で「方程式の解が2こ」の場合、↓のように極大値か極小値がx軸に接する形になります。
円をxy座標平面における方程式で表すことができます。 直角三角形の「三平方の定理」を活用して「斜辺=半径」と捉えます。
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