放物線は[ x = p ]と( p, 0 )からの距離が同じ点を結んだ曲線です。定義を図にすると↓のようになります。
次に楕円を紹介しますが、その前に「円の方程式」をもう一度おさらいします。
円の定義「任意の点から”等しい距離”にある点」です。
xy座標面の距離は”三平方の定理”を用いて表すことができるますので↓「円の方程式」を導出しました。
楕円の定義は「任意の2点からの”距離の和”が等しい点」です。
距離の和を[ 2a ]とおき、三平方の定理から計算します。こちらもxy平面における距離を三平方の定理を用いて式で表してゴリゴリ式変形してます。
[ a > b ]の時は横長です。
楕円は横長だけでなく縦長もあります。[ a < b ]の時は縦長です。
考え方は同じですが「距離の和を[ 2b ]となります。
「媒介変数表示」、つまり「任意の式を別の文字（変数）を用いた表示」を使って楕円を表してみます。
円の表示を三角関数[ sin θ, cos θ ] を使って表すことができます。
（媒介変数表示は図形だけでなく関数でも用います）。
楕円についても三角関数[ sin θ, cos θ ] を使って表すことができます。y軸方向に圧縮したものです。
縦長もの楕円も同じく、三角関数[ sin θ, cos θ ] を使ってx軸方向に圧縮したものです。
楕円を平行移動すると矢印のとおりです。関数や円などの平行移動と同じ考え方です。
楕円を方程式から式変形できることも大切です。
楕円の方程式から導関数を求めて接線を求めることができます↓。
次に双曲線です。
双曲線の定義は「任意の2点からの”距離の差”が等しい点」です。
差を[ 2a ]とおき、距離を三平方の定理から計算します。
双曲線については「漸近線」があります。
「漸近線」は「ものすごーく近づく」という意味です。
縦の双曲線についても同じように考えます。
差を[ 2b ]とおき、同じように式変形から導出します。
双曲線も媒介変数表示ができます。三角関数を変形してあてはめています。
曲線の分野で「線分の長さ」が出題されることがあります。「微分」と「積分」を両方とも用いていますし、考え方は「数列の和の極限」です。
数学のフルコースの問題が「曲線の長さ」に関する問題です。この単元が解ければ相当な実力です。
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