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複素数は「実数」と「虚数」からなるように拡大した定義です。これまでは「実数」だけで定義されていた数を「虚数」も含めて定義し直したと考えると多少理解がしやすいです。
ここで「実数」と「虚数」はルールが違う、ということを受け入れることが複素数の理解に役立ちます。
繰り返しますが、「実数」と「虚数」はルールが違うので
α = a + bi ← 実数の部分と虚数の部分を足し合わせるように書きます。
「複素数平面」は横軸に「実数の軸」、縦軸に「虚数の軸」を定めて可視化したものです。
複素数の加算は「実数」と「虚数」をそれぞれ足します。
複素数平面で表すと平行四辺形のようです。
複素数の差算は「実数」と「虚数」をそれぞれ差し引きます。
複素数iをかけ算するとは[ 90° ] ずつ移動することになります。 4乗すれば戻ってきます。
複素数[ a+bi ]についても計算できます。
複素数の絶対値は「三平方の定理」や「ベクトル」の絶対値に近い考え方です。
複素数のうち、実軸に対称な複素数を「共役複素数」と呼びます。
「共役複素数」の性質については「グラフで理解」と「式で理解」の2つのアプローチがあります。
「共役複素数の絶対値」は式変形で使われる性質です。
「複素数の極形式」は[ 絶対値 ]と[ 偏角( 角度 ) ]を用いて実数と虚数を表します。
実数部 : [ 絶対値 ] × cos θ
虚数部 : [ 絶対値 ] × sin θ
「極形式」は今まで「縦と横」だった座標を「距離と角度」で表すという「表し方の違い」です。(一つの座標を2通りの表し方があるよ、という話)
「複素数の極形式」 への変形は[ sin ]と[ cos ]の値を理解していることが前提です。
「複素数の極形式」のかけ算は性質が印象的です。
絶対値は[ × ( かける ) ]
偏角は[ +( たす ) ]
「複素数の極形式」のわり算はかけ算の反対です。
絶対値は[ ÷ ( わる ) ]
偏角は[ -( ひく ) ]
「複素数の極形式」では「ド・モアブルの定理」も大事です。「偏角を何倍にする」、また「方程式を複素数まで広げる」ことができます。
「複素数の極形式」の方程式には「ド・モアブルの定理」を用います。
「複素数平面」についても「位置ベクトル」や「図形」の分点の考え方を似たように捉えることができます。
「複素数平面」に角度を求めるには以下の手順で求めることができます。
-
原点に移動
-
除法
-
極形式に変換
「複素数平面」上の円は「絶対値」「中心」「半径」がわかれば↓のとおりです。
(円の定義「任意の点から等距離にある点を結んだもの」)
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