円は 中心となる点からのきょりが等しい点をぐる〜と一周させた曲線です。
円は小学校でさいしょに学びますが、中学校でも高校でもさらに円に関する新しいことを学ぶ奥が深い図形です。
中心からのきょりが等しいですが、そのきょりを半径（はんけい）と呼びます。
半径を2倍にのばすと、円をとおる直線となり直径と呼びます。
直径は円をとおる直線の中で一番長いです。
とくちょう１：円のとくちょうとして角がありません。
とくちょう２：円周と直径の関係として π = 3.14 があります。円の周りの長さは直径の3.14倍ということです。
円周率3.14は「直径と円周の長さの比率」でもあり、「正方形と円の面積の比率」でもあります。
つまり、円周率3.14は「長さ」で表すこともできますし、「面積」で表すこともできます。
円をぐるっと一周すると360°、半周すると180°です。
三角形の内角の和が180°、四角形の内角の和が360°となっていますが、角の大きさをイメージできると良いです。
円の中にいろいろな図形を描くことができます。
例えば、直角二等辺三角形です。
東西南北のように上下左右に点をとると正方形です。
正方形 を45°回転させてみると
円の面積を求めるには
半径r × 半径r × π 3.14 =円の面積
ですが、この公式は以下のとおりケーキやピザをカットするように変形すると円を長方形に考えることができるため計算しています。
参考になれば幸いです。
円の面積について続きはこちらから⇩
円の面積は
半径r × 半径r × π 3.14 =円の面積
ですが一部を切り取ってみましょう。
扇型の面積は「360分のいくつ」が基本です。
円の面積を利用してドーナツの面積も求められます。
時計を使って角度を学ぶことができます。
長針は1時間で1回転するので360°回ります。
一方、短針は12時間で1回転するので1時間で30°回ります。
秒針は1分で1回転ですから、10秒で60 °回ります。
短針と長針が作る角度を求める問題もあります。例えば6時00分は180°ですが、1時00分は何度でしょうか？
円と角度について「円周角の定理」が成り立ちます。
「孤の長さ」と「中心角」、「円周角」のルールです。「同じ」や「2倍」「半分」について整理します。
「円周角の定理」は「円の中心を二等辺三角形」と「三角形の外角」から導きます。
三角形についてはこちらから
「円周角の定理」と「相似な三角形」の関係を使って辺の長さや面積の比を求める問題もあります。
中心角と扇型の面積の比には比例関係があります。
円周角は中心角の半径ですので
直径の直線は中心角 180° ⇄ 円周角は直角90°
が成り立ちます。
円を学ぶときには接線が重要なポイントです。接線を含む問題には
角度
接線の長さ
合同（対称性
を使うことが多いです。
まず、円周上の三角形ABCで点Cに接線を引くと↓のような関係があります。
円周上の三角形ABCで点Cに接線を引くと↓のような関係があります。
接線の角度と三角形の相似を組み合わせると↓が導出されます（方べきの定理、と呼ばれます）
円周角の定理と接線が90°であることを利用して証明ができます。
円周角の定理を「円に内接する四角形」にあてはめると「向かいあう2角の和が180°」が成り立ちます。
円は「点から同じ距離にある」ですので「内接円」の場合は三角形の各線に同じ距離ですので「三角形の面積」を求めるのに活用できます。
円の定義「特定の点から同じ距離にある点を一周」を活用して「2つの点から同じ距離にある点」を探すことができます。
「2つの点から同じ距離にある点」を三角形の2辺に作図して交点を求めると「外心＝外接円の中心」が求められます。
円に外から接線を引くと合同な三角形ができます。
三角形と円周角の定理を変形して[ 正弦定理 ]を導くことができます。
変形した三角形を直角(斜辺が直径)になるようにするのがポイントです。
円をxy座標平面における方程式で表すことができます。 直角三角形の「三平方の定理」を活用します。
円をxy座標平面における方程式で「中心が原点でない円」の場合は、平行移動[ x軸へ +p, y軸へ +q ]してみます。
x → ( x − p )
y → ( y − q )
となります。
[ ベクトル ] も円を表すことができます。「円のベクトル方程式」↓のように表すことができます。
中心Aに対して一定の距離[ r ]を位置ベクトルで表しています。
さらに「複素数平面」でも円を表すことができます。「絶対値」「中心」「半径」がわかれば↓のとおりです。
円を表す方程式は[ xとy ]だけでなく、[ θ ]を用いて[x, y ]を表すことができます。 このxを用いて表すことを「媒介変数表示」と呼びます（媒介変数表示は図形だけでなく関数でも用います）。
簡単に言えば「式を別の文字（変数）を使って表そう」というわけです。
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